【解説】2015神奈川県公立高校入試 数学-問５
こんにちは。数学を教えている深川です。
神奈川県公立高校入試の数学について気になる問題を解説しています。
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第６回目は問５です
工場Aでは、製品Pの出荷数について、
１年目に100個出荷し、
２年目には１年目よりa割多く出荷し、
３年目には２年目より2a割多く出荷する計画を立てた。このとき、次の問②答えなさい。
（ア）a = 1 のとき、工場Aにおいて、２年目に出荷する製品Pの個数を求めなさい。
（イ）工場Aにおいて、３年目に製品Pを208個出荷するとき、
aについての方程式をつくり、aの値を求めなさい。
ただし a > 0 とする。なお、答えを導くまでの途中過程も書きなさい。
※本物の問題は文字 x を使用していますが 、解説で掛け算の記号と混同しないよう a を使用します。
問５は二次方程式の問題です。問３、４よりも簡単な印象です。
学校の定期テストで方程式の単元を８割得点できる実力があるなら、
この問題はミスせず解けるのではないでしょうか。
普通に解ける人も多いでしょうから、丁寧に噛み砕いて解説したいと思います。
数量をどう文字式で表すか
文章題を方程式で解くためのコツは、登場する数量をどう文字式で表すかです。
１年目、２年目、３年目の出荷数を文字式で表してみます。
といっても１年目の出荷数は100個と決められているので、文字は使いませんね。
２年目には１年目よりa割多く出荷するそうです。
「１年目より a割多い」という数量を a を使って表すとどうなるでしょうか？
まず具体的に数字を当てはめて考えてみます。
a = 3 だとして「１年目の 3割」の部分を考えると、
その数量は 100 × ( 3 / 10 ) = 30（個）です。
「100 の３割が 30」というのはしっくりくるのではないでしょうか？
「～割」という割合の表現は、10割が元にする量の全体を表します。
a が 10 に対してどれぐらいの大きさかを式にすると「 a / 10 」となります。
よって「１年目の a割」を a を使って表すと、
100 × ( a / 10 ) = 10a となります。
「１年目の a割」が 10a個なら、
「１年目より a割多い」というのはどのように考えればよいか。
この場合もまず具体的に数字を当てはめて考え易くしましょう。
「１年目より 3割多い」という表現について考えます。
3割という割合の表現が含まれているので、元にする数が必要です。
このあたりの理解は数学力というよりも国語力ですが、
「１年目より 3割多い」→「１年目より、１年目の 3割多い」と解釈しましょう。
だからこのようなイメージを持って下さい。
このイメージを式にすると、
「１年目」+「１年目の 3割」＝「１年目より、１年目の 3割多い」です。
だから 100 + 30 = 130 となります。
「１年目より a割多い」を改めて考えると、
「１年目」+「１年目の a割」＝「１年目より、１年目の a割多い」となります。
１年目 ：100個
１年目の a割 ：10a個 なので、
「１年目より a割多い」は、100 + 10a（個）となります。
大変解説が長くなりましたが、この数量が２年目の出荷数です。
３年目はどうなる？
３年目も文字式で表します。
３年目は２年目よりも 2a割多いそうです。
２年目が 100 + 10a（個）だったので、その 2a 割多いとなると・・？？？
100 + 10a（個）という部分がややこしく感じるので、
A = 100 + 10a（個）として置き換えて、シンプルに考えてみます。
「２年目よりも 2a割多い」を「２年目より、２年目の 2a割多い」と考えて、
下のようなイメージを持って下さい。
「２年目」はA個です。
「２年目の 2a割」は A × ( 2a / 10 ) 個です。
よって「２年目より、２年目の 2a割多い」は、
A + A × ( 2a / 10 )個 となります。
ここまできたら、A を 100 + 10a に戻しましょう。
100 + 10a + ( 100 + 10a )( 2a / 10 )
そして整理しました。
2a^2 + 30a + 100
これで２年目、３年目を a を使って表すことが出来ました。
文字式が分かれば解くのはカンタン！
それでは小問を考えていきましょう。
（ア）a = 1 のとき、工場Aにおいて、２年目に出荷する製品Pの個数を求めなさい。
２年目に出荷した製品Pの個数を求めたいので、
100 + 10 a に a = 1 を代入します。
100 + 10 × 1 = 110（個）
（イ）工場Aにおいて、３年目に製品Pを208個出荷するとき、
aについての方程式をつくり、aの値を求めなさい。
ただし a > 0 とする。なお、答えを導くまでの途中過程も書きなさい。
記述の問題形式ですね。
３年目の出荷数を a を使って表したものをいきなり書くと減点されるでしょうから、
「２年目が～なので、３年目は・・・である。」という具合に、
２年目をこう考えましたよ、と採点者に教えてあげるといいでしょう。
さて、３年目は 2a^2 + 30a + 100（個）なので、
2a^2 + 30a + 100 = 208 という方程式が成り立ちます。
208 を移項し、両辺を２で割ると、
a^2 + 15a – 54 = 0 となります。
これを解の公式を使って解きます。
解の公式は教科書（僕が確認したのは東京書籍）に導き方が説明されているので、
ここでの解説は割愛します。
すると、a = – 18 , 3 という解が求まります。
問題文には a > 0 という条件を与えられているので、a = 3 が答えです。
たすき掛けが便利
最近知りましたが、たすき掛けは公立中学校では習わないんですね。
たすき掛けとは二次式を素早く因数分解するテクニックです。
知らない人のためにたすき掛けを説明します。
※たすき掛けの説明の中の「 x 」は、すべて文字（エックス）です。
すでに因数分解された以下のような式があるとします。
( ax + b )( cx + d )
これを展開します。すると以下のような等式が成り立ちます。
( ax + b )( cx + d ) = acx^2 + ( ad + bc )x + bd
この式を観察すると x^2 の係数は ac 、定数項は bd なので、
例えば元の式が
αx^2 + βx + γ
といった式の場合、
α = ac 、γ = bd 、そして β = ad + bc を満たすような
a , b , c , d を考えなければなりません。
これを考えるためのアプローチがたすき掛けです。
下の図がたすき掛けの全体像です。
それではたすき掛けのやり方を説明します。
まず a , b , c , d に当てはめる数を、α = ac 、γ = bd の部分から推測します。
そして下の図のように書きます。ac 、bd の計算結果も書いておきましょう。
そして α = ac 、γ = bd を確認しておきます。
次に、a と d , b と c を掛け算します。
ばってんに掛けるところがたすき掛けの由来です。
最後に ad + cd が β と一致するか確認します。
ちなみに一致しないこともよくあります。
その場合、最初の a , b , c , d から考え直さなければなりません。
たすき掛けで解く例
2x^2 – x – 6 という式で、たすき掛けを試してみます。
2 = 2 × 1
-6 = 3 ×(-2)
と考えて以下のように書きます。
次に掛け算をします。
そして 3 – 4 = -1 を計算して、xの係数と一致していることを確認します。
これで、2x^2 – x – 6 = ( 2x + 3 )( x – 2 ) と因数分解を計算することが出来ました。
繰り返しますがたすき掛けは今回のように１回で a , b , c , d を
求められるとは限りません。
それでもたくさん練習することで最初の推測の精度が上がり、
１回でたすき掛けの計算を成功させることが出来るようになります。
因数分解が遅いなら、たすき掛けを学んで特訓してみて下さい。
解の公式だけに頼るよりきっと素早く解けるようになります。
また、たすき掛けでルートを使うような場合は
解の公式を使ってしまった方が早いので、
そのあたりの勘も練習することで養って下さい。
以上解説でした。最後までお付き合いいただきありがとうございました。
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